・fの偏微分値を新しい変数に変換したいときに式の形を崩さないまま変換できるようにしたのがルジャンドル変換

・マクスウェルの関係式 偏微分交換性あるいはヤコビアンから。偏微分の交換式×4(U,H,F,G)

・座標変換 観測者が動く 観測物が動く]

・熱=エネルギーの出る方向のめちゃくちゃなもの(乱雑性大) 仕事=出方の分かっているもの

・連続の式 ナビエ・ストークス エネルギー方程式

・粒子の判別不能性→フェルミ、ボース
個々の粒子に別々の「位置」を割り当てるのは粒子が区別できることが大前提であるのに、区別ができない粒子にそれをやってしまったことによる。


・観測=物理量を1つに定める行為

・仕事は100%熱に変えられるが熱はカルノー効率分しか仕事に変えられない(低温物質へ熱を捨てないといけない)
H:定圧下での熱力学をやるためのもの 
S:自発的変化には方向がある
内部エネルギー:①回転、並進、振動 kBt程度 ②相互作用=分子間力による位置(ポテンシャル)エネルギー ③化学エネルギー(粒子をさらに分割するエネルギー)
理想気体 相互作用ゼロ
δQ+δW=dU+⊿K+⊿V
電気はモーターで仕事へ100%変換できる
1自由度に1/2ktのエネルギー
可逆プロセスは最高効率 これは手法を変更しても同じな普遍 エネルギー収支がゼロなだけでなく何の影響も残さないこと
可逆過程はゆっくりゆっくり必要最低限のパワーを加えて進ませる 無限の時間がかかる
摩擦があるため実際は不可逆過程が生じ可逆過程より強い圧力、温度を加えないといけない
つまり効率の低下をウムのは不可逆部分
仕事と電力はほぼ100%お互いに変換できるから等価
低温から高温へ熱を持ち上げるヒートポンプ(冷蔵庫、エアコンetc)は仕事を入れて熱を上げている
ヒートポンプの効率は熱機関の逆数で、温度差が小さいほど効率が高い
実際の熱機関では不可逆部分と作動流体と外部との温度の違いで効率が落ちる
可逆 不可逆の差:環境との熱のやりとり、非平衡 =エントロピー増加


・掃き出し法のために成分をゼロにする行列

・物理量の分布Φ(x)Φ(p)etc、期待値、ボルンの確率 を導けるのが状態ベクトル

自己共役な演算子の固有値は実数、固有ベクトルは完全系 
射影演算子→ボルンの規則
期待値

・式変形
部分分数
分子、分母を同じもので割る

・二体運動
外力が重心に作用しているとみなせる
エネルギーと運動量を重心運動と相対運動に分離できる 相対運動では換算質量を持つ質点の運動とみなせる

重心:外力
相対運動:相対座標で決まるポテンシャル

・微分方程式
斉次、非斉次 か?


同次形




変数分離
置換
同次形
特解  f(t)がある場合
ベルヌーイ


・積分は置換、部分積分しかない
いくつかの定石置換あり
三角関数はtanへ変形できることも
置換は元のdxを消さないといけない 置いたものの微分で割って残ってるものが綺麗に消えるか

留数定理 

・他粒子系の波動関数を与えるもの ハートリー積orスレイター行列 スレイター行列の方が粒子入れ替えを考慮している

・平均場近似=多体問題を一体問題へ 平均からのずれ:相関
イジング:隣接

・exp ikx exp -ikx ←逆方向に進む波?

・並進運動p 回転運動θ (重心運動 相対運動)

・シュレディンガー方程式の解 
1井戸型ポテンシャル 2つの方向の波の重ねあわせ
V=0ではsin,cosへ直す V≠0ではexpのまま k,Eが量子化する kを量子化した形に置き換えるかは任意
V=0の解 Φ=Asin(kx)=Bexp(ikx)-Bexp(-ikx) k=nπ  

2自由電子 周期境界条件
周期境界条件は反射することなく一方向へ進む波を表す

・回転も運動量と同じようなものがあってそれのために定義したのが慣性モーメント



・Q エントロピー変化にかかわるようなエネルギー W エントロピー変化に関係ないエネルギー

・圧力エネルギー=圧力変化による内部エネルギーの項

・線形変換AでAx=0となるxをkerAという。dimkerA=dimx-rankA

・斜交座標へ垂直に下ろした成分=共変成分 平行四辺形で下ろした成分=反変成分 ベクトルの合成は平行四辺形なのでベクトルAを反変成分で表す時には基底が共変、共編成分で表す時には反変基底になる。
共変ベクトル⇔反変ベクトル ←計量テンソル()
反変ベクトルと共編ベクトルの基底はそれぞれ共編、反変ベクトル
したがって反変同士の内積を取ると共編の計量テンソルが現れる
反変と共編基底の内積は1である
反変、共編で同じベクトルが表されることから上げ下げの式が導ける

・フェルミエネルギー=絶対零度において電子が存在しなくなるライン

・フーリエ変換の係数1/2πがついて、それをf(x)、F(k)のどちらへ振り分けるかだけの問題

・複素数の乗算は複素数をexpに直すといい

・フーリエ級数のinxなのはx周期が2πの時である 任意周期ではi2πx/L

・畳込みh=f*gのフーリエ変換はfとgのフーリエ変換の積


・ローレンツ不変量
線素の大きさ
内積

・大気圧で物が潰れない理由
紙を万力で挟むと潰れるのは中が隙間だらけだからです。
一方、どんなに圧力が高くても空気は隙間に入ってしまうので紙は潰れません。
入ってるのが空気じゃなくて物質例えば鉛でも鉛が押す力もあるため

外力と押し返す力
大気圧は外力のみで押し返し合ってる
 


・行列の基本変形=基本変形行列をかけるのと同じ
行列式
連立式の掃き出し法 列NG
逆行列       列NG



・行列式
基本変形 大抵はこれ 対称性がある時は全部の列(行)の和をとってみる
多重線形性 (なかなか使いづらい)
同じ行、列があった場合ゼロ
|AB|=|A|B|

行、列で基本変形で打ち消してゼロになるところを見つける a+b 0 0 0 みたいなの
どうしてもなかったら余因子展開など


・正則= rankA=n

・dW=PdVは

・熱力学の第二基礎式 エンタルピーの変分

・ドップラー効果 波は媒質にそって広がる 
 音源が動く→波長変化 観測者が動く→見かけの波長変化

・エンタルピー、自由エネルギーを考えるのは変数を変えて一定としている変数を都合よく選ぶため
 変化しない変数を選べば変分が簡単になる

・テンソルの積 テンソル積(直積)abT、内積aTb、外積

・速度の閉曲線での線積分がゼロでないとき揚力が発生 つまり渦があるとき揚力発生

・物質微分=オイラー表示で物質目線(ラグランジ)の変化経路

・ミクロカノニカル 等重率      
 カノニカル    ボルツマン因子  分配関数   ヘルムホルツの自由エネルギー
 グランドカノニカル ギブス因子   大分配関数  グランドポテンシャル

・分子の微視的なパラメーター=分子間力、分子自体の体積

・質量保存→連続の式 、運動方程式→オイラーの式→ベルヌーイの式

・粘性 定流 dv/dt=0 渦なし ∇×u=0 非圧縮 ∇・u=0(P) 非膨張 ∇・u=0(T)

・比熱は定数ではない

・ベルヌーイの式のエネルギー相当部分はU+p/ρが入ってるがこれはエンタルピー (?)

・ファンデルワールスの式 高圧では使えない

・速度の変化δuを分けると伸び、せん断、回転 変形を見いだせる

・流体における運動量保存式 衝動関数

・座標変換  反変ベクトル 普通の割り算風 基底は逆 
       共変ベクトル



・熱的完全ガス 理想気体 熱量的完全ガス 比熱が定数

・ 

・フェルミ準位=完全な基底状態

・熱力学、統計力学 気体、液体 量子力学 固体 

・変数は常に独立ではない

・波数空間を使う時
=状態が離散的、エネルギーが波数で表される

・状態数=Eをしめる状態の数×とりうるEの数

・積分 dxの入れ替え 難しい時は dx^2=dx^2/dx・dx

・近似とかの考え:そもそも元となる物理法則がマクロスケールでの近似で究極的には不正確
  物理で考えるのは全てを網羅したものではなく、あくまで解析的な領域までのモデル

・微分方程式
 演算子法、普通に積分(dx,dy分離)、ラプラス変換、階数を下げる、解を予想(e^x)、変数分離、定数変化方、座標変換

・E=hv、cpから

・状態ベクトル(粒子) 演算子(物理値)

・波数空間で原点から密につまっているのは自由電子だから

・位相速度=一点の動く速度 群速度=同じ高さの部分が動く

・完全系=すべての元がそれらで表せる 直交=内積ゼロ 規格=自分との内積ゼロ 

・波=1軸へは振動、もう1軸あるいは2軸へは移動 する場合に生じる物

・軌道=準位

・微小量(変分)を考えるのはその量の変化を見るため

・座標変換 ベクトルの変換 パラメーターの変換 

・それぞれの時間軸を持っていて それぞれの過去を見ている
 宇宙船に乗っている人は過去にいるがその人から見たら自分は過去にいる
 そもそも同じ時間に存在してないのだ?

運動方程式を座標変換に不変にしたのがラグランジアン
お互いの変数で微分したものが変数、な関数を作る ルジャンドル変換